4. (표준화점수)에 선택과목 집단별(미적분선택집단, 기하선택집단) (수1,수2 평균점수)를 더하는 의미

3번 단계까지의 변환방법을 통해 A 학생은 만족할 수 있겠지만 B 학생의 생각은 다를 수 있다.

그 방법만으로 공정성이 확보되려면 점수변환의 전제인 두 집단의 학력수준이 같다는 전제가 충족되어야 한다. 두 집단의 학력수준이 같음에도 이렇게 점수분포가 다른 이유는 두 과목의 시험 난이도가 다르기 때문이다. 학력 수준이 같은 학생이라 하더라도 다른 난이도의 시험을 보게 될 경우 점수가 다르게 나올 수 있다는 것이다.

하지만 이는 어디까지나 A의 입장에서 타당하게 들리는 주장일 뿐이다. B의 입장에서는 정반대의 생각을 할 수도 있다. 두 선택과목의 시험 난이도는 비슷한데 선택한 학생들의 학력 수준이 서로 달라 과목별로 다른 점수분포가 나오게 된 것이라고 주장할 수도 있는 것이다. 이와 같은 주장이 사실이라면 3번 변환으로 산출한 점수를 수능성적으로 활용하기 어렵다. 시험을 더 잘 본 학생들이 불이익을 받게 되기 때문이다.

다시 이 문제를 해결하기 위해 3에서 구한 (표준화점수)에 미적분을 선택한 학생들과 기하를 선택한 학생들이 모두 응시한 (수1,수2 평균점수)를 더해 주게 된다. B의 주장대로 기하를 선택한 학생들의 학력 수준이 더 높다면 두 선택과목 학생들이 공통으로 응시한 수1, 수2 과목 시험에서 기하 선택자들의 성적이 더 높을 것이다. 이 점수를 3에서 구한 표준화점수에 더해 줌으로써 학력 수준이 높은 집단의 불이익을 방지할 수 있다. 미적분을 선택한 학생들과 기하를 선택한 학생들의 수1,수2 평균점수가 다음과 같다고 하자.

미적분을 선택한 학생들의 수1,2 평균점수 : 66

기하를 선택한 학생들의 수1,수2 평균점수 : 68점

이 점수를 더해줄 경우 각 과목별 표준화 점수가 다음과 같이 바뀌게 된다.

(미적분) 64.42 64.73 65.05 65.37 65.68 66.00 66.32 66.63 66.95 67.27 67.58

(기 하) 66.42 66.73 67.05 67.37 67.68 68.00 68.32 68.63 68.95 69.27 69.58

그리고 A, B 학생의 점수는 각각 다음과 같이 바뀌게 된다.

A 학생의 점수 : (70-50)/31.62 + 66= 67.58

B 학생의 점수 : (85-75)/15.81 + 68점 = 69.58점

기하를 선택한 학생들이 수1, 수2 평균이 더 높았고, 이는 B 학생의 주장대로 기하 선택자들의 학력이 더 높다는 것을 의미한다. 이 수1, 수2 평균점수를 더해 줌으로써 두 과목을 선택한 학생들의 학력 수준 차이가 점수 변환 과정에 반영되게 되었다.

5. (수1,수2과목표준편차)를 (표준화점수)에 곱하여 최종적인 (조정원점수) 구하기

4번 단계까지 변환하게 되면 충분한 공정성이 확보되었다고 생각할 수도 있을 것이다.

A 학생의 주장을 받아들여 과목별 난이도를 점수에 반영하였고, B 학생의 주장도 받아들여 과목별 선택자들의 학력 수준도 점수에 반영하였기 때문이다.

하지만 두 과목을 선택한 학생들의 (수1,수2점수표준편차)가 서로 다를 경우, 공통 과목인 ‘수1,수2 점수 1점’과 동등한 의미를 갖는 ‘선택과목(미적분, 기하)의 점수’가 서로 다르기 때문에 점수 변환의 공정성에 대해 새로운 문제가 제기될 수 있다.

미적분을 선택한 경우 4번과정에서와 같이 (미적분 표준화점수)와 (수1,2 평균점수)를 단순 합산하여 최종점수를 구해도 되는가? 기하를 선택한 경우에도 두 점수를 단순합산해서 최종점수를 구해도 되는가?

이러한 문제 제기에 대해 공정한 방식의 답변을 주기 위해서는 3번에서 설명한 표준화점수를 구했던 논리를 활용하여 점수를 한번 더 조정할 필요가 있다.

이 조정방법을 구체적으로 설명해 보겠다. 먼저, 4번에서 미적분과 기하 과목을 선택한 학생들의 수1, 수2 평균점수가 각각 66점과 68점이라고 하였다.이제 미적분과 기하 과목을 선택한 학생들의 수1, 수2 표준편차가 다음과 같다고 하자.

미적분을 선택한 학생들의 (1,2점수표준편차) : 21.11

기하를 선택한 학생들의 (1,2점수표준편차) : 20.35

두 정보를 요약하면 다음과 같다.

미적분을 선택한 학생들의 (1,2점수) : 평균66, 표준편차21.11

기하를 선택한 학생들의 (수1,수2점수) : 평균68, 표준편차20.35

그리고 다음 점수는 3번에서 구한 미적분과 기하 과목의 (표준화점수)이다.

선택과목별 (표준화점수)

(미적분) -1.58 -1.27 -0.95 0.63 -0.32 0.00 0.32 0.63 0.95 1.27 1.58 (표준편차 1)

(기 하) -1.58 -1.27 -0.95 -0.63 –0.32 0.00 0.32 0.63 0.95 1.27 1.58 (표준편차 1)

이 점수들의 표준편차는 1이다. 확률과 통계 과목의 내용 중 표준정규분포에 관한 내용을 기억하는 사람이라면 왜 그런지 알 수 있을 것이고, 기억나지 않는 사람이면 그냥 그렇다고 받아들이자.

위의 선택과목별 (표준화점수)를 구할 때 적용한 미적분, 기하 과목 간 점수 비교 논리를 수1,2점수와 선택과목 점수를 비교하기 위해 똑같이 적용해 보려고 한다. 먼저 선택과목 표준화점수를 구하는 공식을 다시 떠올려 보자.

위 공식에서 ‘(자기 선택과목 점수)(선택과목 평균)’을 표준편차로 나누어 주는 이유를 두 과목의 점수를 동등하게 만들기 위해서라고 하였다. 즉, 미적분의 표준편차가 31.62이고 기하의 표준편차가 15.81이라 할 경우 미적분에서 받은 31.62점이 기하에서 받은 15.81점과 동등한 점수이기 때문에 나누어주는 것이라고 하였다.

이제 이 논리를 ‘미적분 표준화점수’와 ‘미적분을 선택한 학생들의 수1,2 점수’ 사이의 관계를 설정하는데 적용해 보자. ‘미적분 표준화점수’의 표준편차는 1이고, ‘미적분을 선택한 학생들의 수1,2 점수’의 표준편차는 21.11이다. 따라서 ‘미적분 표준화점수’ 1점은 ‘미적분을 선택한 학생들의 수1,2 점수’ 21.11점과 동등하다고 할 수 있다. 이 논리를 기하 과목에도 그대로 적용하면 ‘기하 표준화점수1점은 기하를 선택한 학생들의 수1,2 점수’ 20.35점과 동등하다.

따라서 수1,수2 평균점수와 선택과목 표준화점수를 더할 때 선택과목 표준화점수에 다음 공식에서와 같이 수1,수2 점수의 표준편차를 곱해 주어야 두 점수(수1,수2 평균점수와 선택과목 표준화점수)를 대등한 수준으로 합산하는 것이라 말할 수 있다.

이렇게 대등한 수준으로 두 점수를 합산해야 변환점수의 공정성이 보장된다.

미적분과 기하 과목 점수 1점에 해당하는 수1,수2 점수가 서로 다르다고 봐야 하기 때문이다. 이 점수 변환 공식에는 기본적인 전제가 미적분과 기하를 선택한 학생들의 학력 수준이 다르다는 점이 전제되어 있기 때문에 각각의 학력 수준에서 미적분 1점에 해당하는 수1,수2 점수와 기하 1점에 해당하는 수1,수2 점수가 다르게 계산되어야 한다. 그리고 미적분과 기하 과목 시험의 난이도가 다르다는 전제가 점수변환 과정에 반영되어 있기 때문에 두 과목이 수1,수2에 비해 얼마나 어려웠는지도 다르다고 보아야 한다. 그래서 두 선택과목에서 받은 같은 1점에 대한 수1, 수2 점수도 다르게 매겨져야 하는 것이다. 이 마지막 변환 과정은 이러한 고려 사항이 담긴 변화 과정인 것이다.

이를 반영하여 미적분, 기하 과목의 조정원점을 구하면 다음과 같다.

(미적분) 32.62 39.30 45.97 52.65 59.32 66.00 72.68 79.35 86.03 92.70 99.38

(기 하) 35.82 42.26 48.69 55.13 61.56 68.00 74.44 80.87 87.31 93.74 100.18

그리고 A, B 학생의 최종 조정원점수를 구하면 다음과 같다.

A 학생의 미적분 과목 조정원점수 : [(7050)/31.62]×21.11+66=79.35

B 학생의 기하 과목 조정원점수 : [(85-75)/15.81]×20.35+68점=80.87

2 comments
  1. 수능 선택과목 조정원점수 변환공식에 대한 자세한 정보를 얻기 힘들었는데, 여기에서 잘 공부하고 갑니다.
    감사합니다.

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